Construction :
La construction, en perspective rectiligne, fait appel à plusieurs facteurs :
la distance D [observateur - ligne de terre]
la hauteur h [observateur - sol]
la position des PFD (points de fuite diagonale, généralement traités sur l'horizon)
la position de PP (confondu avec l'axe visuel, sa position sur PVH détermine l'angle de vue)
La seule réelle difficulté de la construction en rectiligne, est directement liée au caracatère expansif de cette dimension.
Contrairement au côté cosmique, fermé du sphérique, la localisation de l'observateur paraît moins évidente, d'autant plus qu'elle n'est pas absolue (une vision avec D=2a , PP-PFD=b et une vision avec D=a, PP-PFD=2b donnent exactement la même perspective) contrairement à la perspective curviligne. Mais le reste s'avère plutô simple, dans la mesure où la ligne de terre est trouvée ou déterminée, le tableau (ligne de terre + ligne(s) de hauteur) qui en résulte paraît plus logique et plus fiable qu'en perspective curviligne. La construction consiste tout simplement à appliquer dans l'espace les coordonnées relevées dans les géométraux (voir le topic sur la projection d'absisses et d'ordonnées).

Perspective curviligne

Principe et définition :
La perspective curviligne, dite sphérique, est une approche de la vision optique.
Il s'agit d'une perspective cosmique ("cosmos" = "univers fermé"), c'est-à-dire que, contrairement à la perspective rectiligne, il est possible de visualiser seulement l'espace compris dans le cercle optique et devant l'oeil observateur.
La perspective curviligne est une résultante de celle rectiligne : la seule manière de prendre en compte deux convergences opposées pour un même volume est de courber ce dernier. Le sphérique est pour ainsi dire la seule solution qui permette d'utiliser la totalité des points de fuites.
(exemple de problème lié aux convergences opposées en perspective rectiligne)

Introduction du curviligne :
.h l'horizon compris dans le cône visuel de l'observateur.
.d une droite parfaitement verticale dans l'espace, située dans le cône visuel de l'observateur.
(on admet que d n'est pas exactement en face de l'observateur, sinon quoi on ne pourrait
distinguer ses caractères visuels respectifs aux 3 foyers de convergence étudiés ci-dessous)
.On analyse séparément les convergences rectilignes de cette même droite (*) :
-selon le Zénith (z), l'intersection de d et h décrit un angle alpha (rad)
-selon le point vernal (v) (ou ni Zénith, ni Nadir), d est perpendiculaire (pi/2) à h
-selon le Nadir (n), l'intersection de d et h décrit un angle -alpha (rad)
.Si l'on veut prendre en compte simultanément ces 3 foyers de convergence,
on obtient dans une dimension rectiligne le phénomène suivant :
-la résultante des 3 droites en fonction des intersections est une "courbe polygonale rectiligne" composée de 3 segments,

on obtient dans une dimension curviligne le phénomène suivant :
-les analyses rectilignes séparées (*) ne sont plus interprétées comme étant des représentations
de d, mais comme étant des tangentes de d, on en déduit que la résultante des droites en fonction
de leur orientation sur z, v, n est une courbe qui respecte 3 tangentes :
la tangente z' (d'orientation alpha), la tangente v' (d'orientation pi/2) et la tangente n' (d'orientation -alpha).

.Dans le premier cas, la droite est rompûe en 2 demi-droites (l'un rejoignant z, l'autre rejoignant n)
et 1 segment (passant par h). Cette situation est impossible, selon la logique visuelle, car elle ne
conserve pas le caractère uniforme de d. Et cela parce que d subit une déformation hétérogène.
.Dans le second cas, la droite subit une déformation homogène, bien qu'elle devienne une courbe,
elle conserve néanmoins son uniformité.
.Le 1er phénomène présente une incohérence entre la dimension rectiligne et le caractère polyrectiligne de d,
tandis que le 2ème phénomène assure une cohérence entre la dimension curviligne et le caractère monocurviligne de d.
On en déduit que la seule solution envisageable est la seconde.

Construction :
Comme en perspective rectiligne, il suffit de retrouver la ligne de Terre pour projeter ses mesures.
En perspective curviligne, la ligne de Terre (horizontale) se situe au pied du cercle optique (d'un point
de vue plus formel, lorsque vous regardez droit devant vous, ce "pied" n'est autre que vos 2 pieds ...).
Il suffit donc de tracer une droite horizontale et tangente au cercle (si l'observateur regarde l'horizon,
ou droit devant lui, la ligne de Terre passe par le point Nadir) et d'y relever vos mesures en fonction
de l'échelle du dessin. De la même façon vous pourrez réaliser vos lignes de hauteur. Au final vous
obtiendrez l'équivalent d'un tableau en perspective rectiligne. Cependant vous ne retrouvez la facilité
de construction rectiligne qu'avec la convergence vernale, puisque toutes les autres projections
devront être curvilignes ...

Tracé des courbes :

Pour tracer des courbes représentatrices de droites, il faut respecter toutes les tangentes à cette courbe.
A main levée, il vous faudrat connaître au moins 3 tangentes (par exemple : en z, en v et en n) cependant
vous pouvez échapper à l'intuitif de la façon suivante : pour un point de la courbe dont vous connaissez
la tangente, vous tracez une droite perpendiculaire à celle-ci et passant par le point commun à la tangente
et à la courbe. Vous répétez cela avec au moins un autre point de la courbe et vous obtiendrez un point
d'intersection des projections orthogonales (les 2 droites perpendiculaires), ce point est en fait le centre
du cercle qui contient la courbe que vous souhaitez tracer.

Propriétés :
-une sphère ne subit aucune autre déformation de perspective que l'homotéthie
-toutes les verticales (seulement celles à 90°) sont visuellement parallèles entre elles dans une perspective frontale
-toutes les verticales (seulement celles à 90°) convergent essentiellement vers le Zénith dans une perspective contre-plafonnante
-toutes les verticales (seulement celles à 90°) convergent essentiellement vers le Nadir dans une perspective plafonnante
-toutes les horizontales (perpendiculaires à l'axe visuel) sont visuellement parallèles entre elles dans une perspective rectiligne
-toutes les horizontales (perpendiculaires à l'axe visuel) convergent essentiellement vers l'Issar ou vers l'Imin
-toute droite, en perspective curviligne, orthogonale à l'axe visuel converge vers 2 points dont le segment qu'ils délimitent a pour milieu PP
-les fuyantes du point vernal (si et seulement si v=PP) sont rectilignes quelque soit le caractère de la perspective
-il est possible de franchir, dans un dessin, les limites théoriques (si il y en a) de la vision en perspective rectiligne
-il est impossible de franchir, selon la logique visuelle, le contour optique déterminé par une perspective curviligne
-un point de fuite diagonale se situe au milieu de son segment respectif
(PFD1/PFD2/PFD3/PFD4 milieu respectif de [V-Im]/[V-Is]/[V-Z]/[V-N])

Localisation :
V (point vernal) =(si et seulement si l'observateur regarde droit devant lui)= PP (milieu de l'horizon)
Z (zénith) = PH (haut)
N (nadir) = PB (bas)
Im (imin) = P-D (droit)
Is (issar) = P-G (gauche)
PFD1 = PFHD-D (point de fuite horizontale diagonale droite)
PFD2 = PFHD-G (point de fuite horizontale diagonale gauche)
PFD3 = PFVD-H (point de fuite verticale diagonale haute)
PFD4 = PFVD-B (point de fuite verticale diagonale basse)
f (point de fuite) : ( y (rad) selon PVV ; x (rad) selon PVH) / (y° selon PVV ; x° selon PVH)
Z (p/2 ; 2p) / Z (90° ; 0°)
V (2p ; 2p) / ( 0° ; 0°)
N (-p/2 ; 2p) / (-90° ; 0°)
Im (2p ; -p/2) / ( 0° ; -90°)
Is (2p ; p/2) / ( 0° ; 90°)
PFD1 (2p ; -p/4) / ( 0° ; -45°)
PFD2 (2p ; p/4) / ( 0° ; 45°)
PFD3 (p/4 ; 2p) / ( 45° ; 0°)
PFD4 (-p/4 ; 2p) / ( -45° ; 0°)