Démonstrations des axiomes

 

Les Démonstrations

Voici des propositions de démonstration qui permettent de généraliser,
dans leur ensemble respectif de définition, quelques propriétés en perspective curviligne.

1/ Caractère rectiligne des convergences vernales en perspective curviligne
Depuis sa création, la construction en perspective rectiligne utilise un "tableau".
Jadis, pour reproduire la réalité, l'on dessinait sur une feuille quadrillée les informations visuelles
projetées (par transparence) sur une vitre (contenant le même quadrillage). Ensuite apparut la
perspective à l'italienne, qui consistait à projeter dans un espace représenté en 2d (un dessin)
des informations paramètrées dans divers plans (les géométraux). Bref vous l'aurez compris,
l'essence de la perspective est de projeter.

De la perspective rectiligne découle deux types de projections :
soit vous projetez une réalité visuelle sur un dessin,
soit vous projetez un géométral sur un dessin.

Avant d'aller plus loin, je tiens juste à préciser ceci : la perspective visuelle subit 2 facteurs de
déformation : la forme convexe de l'oeil et la correction concave du cerveau (pour voir globalement
de manière rectiligne, sinon quoi il nous aurait été difficile d'atteindre la notion de parallèlisme et de
colinéarité). La perspective rectiligne (entièrement cérébrale) et celle sphérique (entièrement optique,
du moins si l'on ramène l'oeil à une sphère, ce qui n'est pas le cas en réalité) sont 2 extrêmes à cette
discipline. L'initiation théorique à la perspective curviligne peut se faire selon cet ordre de dérivation :
projection de la vision sur un plan (le fameux tableau, qui en réalité est un disque) puis projection du
plan sur une demi-sphère (l'oeil parfait de la perspective sphérique).

Selon le schéma ci-dessus, avant la projection tableau/demi-sphère (b) , le tableau est placé
contre la demi-sphère selon l'axe visuel (il s'agit d'une translation que l'on pourra négliger pour
la suite de la démonstration). Ensuite, ce tableau est déformé pour que les points communs aux
2 surfaces se rejoignent et se confondent sur une même surface, celle de la demi-sphère.

C'est alors que vous remarquez la chose suivante : plus un point est proche du contour visuel
(appartenant au disque), plus sa projection est importante; plus un point est proche du centre
du disque (le PP, pouvant comprendre le point Vernal), plus sa projection est courte.

La démonstration consiste à considérer que l'importance d'une projection au niveau d'un
point de fuite en tant que point géométrique et l'importance de déformation de type convexe
de ce même point en tant que point de convergence sont absoluement proportionnelles.
On en déduit qu'au point principal PP (centre des 2 surfaces mais cette fois-ci étudié exclusivement
dans la surface sphérique), qui n'est pas considéré comme "projeté" (puisque la translation selon
l'axe visuel n'affecte pas la raisonnement), la déformation de type convexe (que l'on appellera ccv,
"coefficient convexe") est nulle. Sans cette déformation, le point en question reste le même que
sur le disque visuel : c'est-à-dire un point de convergence rectiligne. Voilà pourquoi en perspective
curviligne, les convergences vernales (si et seulement si PP=V) sont les seules à être rectilignes.

On en conclut qu'en perspective curviligne, plus un point se rapproche du contour optique,
plus il subit le ccv (plus il est "incurvé", "courbé") et plus un point se rapproche du point vernal,
moins il subit le ccv (vice versa). D'ailleurs, cette notion de coefficient convexe, appliquée à
l'observation empirique, justifie pourquoi les courbures des droites dans l'espace, causées par la
forme sphérique de l'oeil, ont d'abord été remarquée (par l'Humain) selon les points de convergences
extrêmes (ceux qui appartiennent au contour optique, zone où le ccv est maximal) dont le Zénith,
le Nadir, l'Imin et l'Issar (les courbures causées par ces 2 points de convergences, ont d'abord été
observées au niveau des escaliers des temples grecs, ce qui explique pourquoi ils ont été construits
de manière concave, afin de compenser le ccv de sorte que ces escaliers apparaissent véritablement
droits et parallèles dans l'oeil humain) ...


2/Les points de fuite diagonale, milieux de leur segment respectif

Lorsque l'on élabore une grille de perspective sphérique (j'emploie généralement le terme de "grille d'Escher"),
on est souvent ammené à placer, en plus du Zénith (Z), du Nadir (N), de l'Imin (Im) et de l'Issar (Is), les PFD :
les points de fuite diagonale. Ce sont les foyers où convergent les diagonales horizontales (PFD1 à droite, PFD2
à gauche, sur PVH) et verticales (PFD3 en haut, PFD4 en bas, sur PVV). Même si Z et N sont complémentaires,
opposés entre eux comme Im et Is, PFD1 et PFD2 ou PFD3 et PFD4 ne le sont pas, car ils ne sont pas situés sur
le contour visuel [C]. Quoiqu'il en soit, lorsque Z,N,Im,In ainsi que PVH (l'horizon) et PVV sont indiqués, on a pour
réflexe de positionner les points de fuite diagonale au milieu de leur segment respectif. Et cela par logique intuitive,
et non pas selon une démonstration. Avant de développer ma démonstration (qui, en fait, propose seulement un
moyen de localiser les PFD, puis ensuite de vérifier son bon-sens en observant si les points obtenus sont bel et
bien milieux de leur segment respectif), je précise juste au préalable que les PFDX (les points de fuite diagonales
d'extrêmité) sont localisés en partant de PP (où les convergences sont rectilignes) une droite dont l'angle selon
PVH ou PVV est de 45°, droite qui donne pour intersections PFDX2 et PFDX4 selon PVH ainsi que PFDX1 et PFDX3
selon PVV (voir schéma ci-dessus).

On considère un carré (dont l'une des 2 diagonales doit rejoindre son point de fuite respectif,
situé sur PVH : PFD2) à plat, d'une hauteur nulle et face à nous (donc les côtés latéraux rejoignent
le point vernal et ceux frontaux rejoignent Im et Is). On s'éloigne de ce carré à une distance infinie,
de telle sorte qu'il se confonde avec le point vernal. Ensuite on donne à ce carré une hauteur infinie,
de telle sorte qu'il se confonde avec le zénith : on obtient une vue de dessous du carré.
Ensuite on éloigne à ce carré une distange infiniement à notre gauche, de telle sorte qu'il se confonde avec
l'Issar : on obtient la vue de face précédente, pivotée à 90° (au sol) dans le sens des aiguilles du montre.
(voir le schéma a au dessus)

On admet PFDX3, milieu du quart de cercle [IsZ], comme étant un intermédiaire perspective à Z et à Is.
Donc en donnant une hauteur infinie et un éloignement infini sur la gauche au carré, ce dernier se confond
avec PFDX3 : on obtient un losange dont la diagonale, qui doit converger vers PFD2 sur PVH, est une droite
parfaitement verticale. (voir le schéma b au dessus)

Cette verticale oriente la tangente A, tangente en PFDX3 de la diagonale qui, elle, est courbée entre ce point
de fuite diagonale extrême et son point complémentaire, PFDX1, en passant par PFD2. (voir le schéma c au dessus)

On répète le même raisonnement en confondant le carré avec Im, N puis PFDX1, ce qui nous permet d'obtenir une
seconde tangente en PFDX1 : la tangente B. Or il se trouve que toute droite dans l'espace devient courbe en perspective
sphérique, et que toute courbe originaire d'une droite est un arc de cercle. Il suffit donc de tracer 2 droites perpendiculaires
à 2 tangentes en 2 points distincts de cet arc de cercle pour obtenir une intersection qui n'est autre que le centre du cercle
contentant la courbe. Alors, il nous reste plus qu'à tracer 2 droites perpendiculaires aux tangentes A et B pour qu'elles
s'intersectionnent en un seul point (il s'agirat du point PFDX2). (voir le schéma a en dessous)

Puis en traçant un cercle de centre PFDX2 et passant par PFDX3 et PFDX1, on obtient un arc de cercle (à l'intérieur du cercle visuel)
qui est en fait la courbe représentatrice du prolongement de la diagonale du carré lorsque celui-ci est projeté à l'infini sur PFDX3 et sur
PFDX4. Nous remarquons, alors, que cette courbe coupe PVH et PVV en 2 points respectifs : PFD2 et PFD4. (voir le schéma b en dessous)

Pour vérifier que la méthode de localisation de ces 2 points est correcte, l'on mesure les distances des segments [Is-PFD2] et ]PFD2-V] entre eux.
On observe alors que Is-PFD2 = PFD2-V, ce qui signifie que PFD2 est le milieu de son segment respectif : [Is-V]. (voir le schéma c en dessous)

On en conclut que la vérification certifie l'exactitude de la méthode de localisation des points de fuite diagonale.